Решение:

1. Преобразуем смешанные дроби в неправильные дроби:$$6\frac{2}{7}=\frac{6\cdot 7 + 2}{7}=\frac{42+2}{7}=\frac{44}{7}$$$$3\frac{5}{14}=\frac{3\cdot 14 + 5}{14}=\frac{42+5}{14}=\frac{47}{14}$$$$1\frac{1}{3}=\frac{1\cdot 3 + 1}{3}=\frac{3+1}{3}=\frac{4}{3}$$$$4\frac{1}{2}=\frac{4\cdot 2 + 1}{2}=\frac{8+1}{2}=\frac{9}{2}$$
2. Выполним вычитание в скобках:$$\frac{44}{7}-\frac{47}{14}=\frac{44\cdot 2}{7 \cdot 2}-\frac{47}{14}=\frac{88}{14}-\frac{47}{14}=\frac{88-47}{14}=\frac{41}{14}$$
3. Выполним умножение:$$\frac{41}{14}\cdot \frac{4}{3}=\frac{41\cdot 4}{14\cdot 3}=\frac{41\cdot 2}{7\cdot 3}=\frac{82}{21}$$
4. Выполним сложение:$$\frac{82}{21}+\frac{9}{2}=\frac{82\cdot 2}{21\cdot 2}+\frac{9\cdot 21}{2\cdot 21}=\frac{164}{42}+\frac{189}{42}=\frac{164+189}{42}=\frac{353}{42}=8\frac{17}{42}$$

Ответ: $$8\frac{17}{42}$$