1. Вычислите \frac{6^4}{4^2 \cdot 9^3} + \frac{1}{2} \cdot (1 + \frac{1}{3})^2.

Вычислим значение выражения по действиям:

1. \(1 + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}\)
2. \((\frac{4}{3})^2 = \frac{4^2}{3^2} = \frac{16}{9}\)
3. \(\frac{1}{2} \cdot \frac{16}{9} = \frac{16}{2 \cdot 9} = \frac{8}{9}\)
4. \(6^4 = 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 36 = 1296\)
5. \(4^2 = 4 \cdot 4 = 16\)
6. \(9^3 = 9 \cdot 9 \cdot 9 = 81 \cdot 9 = 729\)
7. \(16 \cdot 729 = 11664\)
8. \(\frac{1296}{11664} = \frac{1296 : 1296}{11664 : 1296} = \frac{1}{9}\)
9. \(\frac{1}{9} + \frac{8}{9} = \frac{1+8}{9} = \frac{9}{9} = 1\)

Ответ: 1