Вычислите: \(\frac{27}{\cos^2 27^\circ + \cos^2 117^\circ}\)

Пошаговое решение:

1. Заметим, что \(\cos 117^\circ = \cos (90^\circ + 27^\circ) = -\sin 27^\circ\).
2. Тогда \(\cos^2 117^\circ = (-\sin 27^\circ)^2 = \sin^2 27^\circ\).
3. Подставим в исходное выражение:
   \[\frac{27}{\cos^2 27^\circ + \cos^2 117^\circ} = \frac{27}{\cos^2 27^\circ + \sin^2 27^\circ}\]
4. Используя основное тригонометрическое тождество \(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1\), получим:
   \[\frac{27}{1} = 27\]

Ответ: 27