Вычислите: 1) \(\cos^2\alpha-1\); 2) \( g\alpha\ctg\alpha-\cos^2\alpha\); 3) \(\sin\alpha\ctg\alpha+\cos\alpha\); 4) \(\frac{\sin\alpha}{ g\alpha}-\cos\alpha\); 5) \(\cos^2\alpha-(\ctg^2\alpha+1)\sin^2\alpha\); 6) \(\left(\frac{1}{1+\sin\alpha}+\frac{1}{1-\sin\alpha}\right)\cos^2\alpha\); 7) \(\frac{1-2\cos^2\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\); 8) \(\frac{\sin^3\alpha-\cos^3\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}-\sin\alpha\cos\alpha-\cos^2\alpha\).

1. Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\):

   \(\cos^2\alpha-1=-\sin^2\alpha.\)

2. Так как \( g\alpha\ctg\alpha=1\), получаем:

   \(1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha.\)

3. По тождеству \(\sin\alpha\ctg\alpha=\cos\alpha\):

   \(\cos\alpha+\cos\alpha=2\cos\alpha.\)

4. Поскольку \( g\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), имеем:

   \(\frac{\sin\alpha}{ g\alpha}-\cos\alpha=\cos\alpha-\cos\alpha=0.\)

5. Используем тождество \(\ctg^2\alpha+1=\frac{1}{\sin^2\alpha}\):

   \(\cos^2\alpha-(\ctg^2\alpha+1)\sin^2\alpha=\cos^2\alpha-1=-\sin^2\alpha.\)

6. Сложим дроби и воспользуемся тождеством \(1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha\):

   \(\left(\frac{1}{1+\sin\alpha}+\frac{1}{1-\sin\alpha}\right)\cos^2\alpha=\frac{2}{1-\sin^2\alpha}\cos^2\alpha=2.\)

7. Числитель преобразуем по тождеству \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\):

   \(1-2\cos^2\alpha=\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=(\sin\alpha-\cos\alpha)(\sin\alpha+\cos\alpha).\)

   Сокращая на \(\sin\alpha-\cos\alpha\), получаем \(\sin\alpha+\cos\alpha\).

8. Разложим разность кубов:

   \(\frac{\sin^3\alpha-\cos^3\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=\sin^2\alpha+\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha.\)

   Тогда исходное выражение равно \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha\).

Ответ: 1) \(-\sin^2\alpha\); 2) \(\sin^2\alpha\); 3) \(2\cos\alpha\); 4) \(0\); 5) \(-\sin^2\alpha\); 6) \(2\); 7) \(\sin\alpha+\cos\alpha\); 8) \(\sin^2\alpha\).