Вычислите: 12^6 / 9^4

Решение:

1. Разложение на простые множители: Представим числа 12 и 9 в виде их простых множителей.
   • \( 12 = 2^2 \times 3 \)
   • \( 9 = 3^2 \)
2. Подстановка в выражение:\( \frac{12^6}{9^4} = \frac{(2^2 \times 3)^6}{(3^2)^4} \)
3. Применение свойств степеней:
   • \( (a^m)^n = a^{m imes n} \)
   • \( (a \times b)^n = a^n \times b^n \)

   \( \frac{(2^2)^6 \times 3^6}{(3^2)^4} = \frac{2^{2 \times 6} \times 3^6}{3^{2 \times 4}} = \frac{2^{12} \times 3^6}{3^8} \)

4. Сокращение степеней с одинаковым основанием:\( a^m / a^n = a^{m-n} \)

   \( 2^{12} \times 3^{6-8} = 2^{12} \times 3^{-2} \)

5. Перевод отрицательной степени в положительную:\( a^{-n} = 1 / a^n \)

   \( 2^{12} \times \frac{1}{3^2} = \frac{2^{12}}{3^2} \)

6. Вычисление:
   • \( 2^{12} = 4096 \)
   • \( 3^2 = 9 \)

   \( \frac{4096}{9} \)

7. Представление в виде смешанной дроби (необязательно, но может быть полезно):\( 4096 \div 9 = 455 \) с остатком \( 1 \). Таким образом, \( 455 \frac{1}{9} \).

Ответ: 4096/9