Вычислите: 6) \( (2\frac{1}{3} a^4 b^4)^3 \times (-1\frac{2}{7} a^5 b^{12}) \)

Решение:

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

\( 2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3} \)

\( -1\frac{2}{7} = -\frac{1 \cdot 7 + 2}{7} = -\frac{9}{7} \)

Теперь возведём первую скобку в куб, используя свойство \( (xy)^n = x^n y^n \):

\( (\frac{7}{3} a^4 b^4)^3 = (\frac{7}{3})^3 (a^4)^3 (b^4)^3 = \frac{343}{27} a^{12} b^{12} \)

Умножим полученное выражение на вторую часть:

\( \frac{343}{27} a^{12} b^{12} \times (-\frac{9}{7} a^5 b^{12}) \)

Перемножим коэффициенты:

\( \frac{343}{27} \times (-\frac{9}{7}) = \frac{343 \cdot (-9)}{27 \cdot 7} = \frac{(49 \cdot 7) \cdot (-9)}{(3 \cdot 9) \cdot 7} = \frac{49 \cdot (-1)}{3} = -\frac{49}{3} \)

Перемножим переменные, используя свойство \( x^m \cdot x^n = x^{m+n} \):

\( a^{12} \cdot a^5 = a^{12+5} = a^{17} \)

\( b^{12} \cdot b^{12} = b^{12+12} = b^{24} \)

Объединим результаты:

\( -\frac{49}{3} a^{17} b^{24} \)

Ответ: \(-\frac{49}{3} a^{17} b^{24}\).