Вычислите неизвестные \(y_0\) и \(R\) в уравнении окружности, которая проходит через точку с абсциссой 3, лежащей на оси \(Ox\), и через точку с ординатой 5, лежащей на оси \(Oy\), если известно, что центр окружности находится на оси \(Oy\): \(x^2+(y-y_0)^2=R^2\).

Точка на оси \(Ox\) имеет координаты \((3,0)\), а точка на оси \(Oy\) — координаты \((0,5)\). Центр окружности на оси \(Oy\), поэтому его координаты \((0,y_0)\).

1. Подставим точку \((3,0)\) в уравнение: \(9+y_0^2=R^2\).
2. Подставим точку \((0,5)\): \((5-y_0)^2=R^2\).
3. Приравняем выражения для \(R^2\): \(9+y_0^2=(5-y_0)^2=25-10y_0+y_0^2\), откуда \(y_0=\frac{8}{5}\).
4. Тогда \(R^2=9+\left(\frac{8}{5}\right)^2=\frac{289}{25}\), значит \(R=\frac{17}{5}\).

Ответ: \(y_0=\frac{8}{5}\); \(R=\frac{17}{5}\).