Вычислите определитель Д₁ в формуле Крамера для системы линейных уравнений x1 + x2 - x3 = 1, 8x1 + 3x2 - 6x3 = 2, 4x1 - x2 + 3x3 = -3

Решение:

Определитель \( \Delta_1 \) в формуле Крамера получается заменой первого столбца матрицы коэффициентов на столбец свободных членов.

Исходная система уравнений:

\[ \begin{cases} 1x_1 + 1x_2 - 1x_3 = 1 \\ 8x_1 + 3x_2 - 6x_3 = 2 \\ 4x_1 - 1x_2 + 3x_3 = -3 \end{cases} \]

Матрица коэффициентов \( A \) и столбец свободных членов \( B \):

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 8 & 3 & -6 \\ 4 & -1 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} \]

Чтобы найти \( \Delta_1 \), заменим первый столбец матрицы \( A \) на столбец \( B \):

\[ \Delta_1 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & -6 \\ -3 & -1 & 3 \end{vmatrix} \]

Вычислим определитель \( \Delta_1 \) разложением по первой строке:

\[ \Delta_1 = 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & -6 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -6 \\ -3 & 3 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -3 & -1 \end{vmatrix} \]

Вычислим определители второго порядка:

\[ \begin{vmatrix} 3 & -6 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = (3)(3) - (-6)(-1) = 9 - 6 = 3 \]

\[ \begin{vmatrix} 2 & -6 \\ -3 & 3 \end{vmatrix} = (2)(3) - (-6)(-3) = 6 - 18 = -12 \]

\[ \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -3 & -1 \end{vmatrix} = (2)(-1) - (3)(-3) = -2 - (-9) = -2 + 9 = 7 \]

Подставим полученные значения:

\[ \Delta_1 = 1 \cdot (3) - 1 \cdot (-12) + (-1) \cdot (7) \]

\[ = 3 + 12 - 7 \]

\[ = 15 - 7 = 8 \]

Ответ: 8