Вычислите определитель матрицы А системы линейных уравнений: 3x + 2y - z = 4, 2x - y + 5z = 23, x + 7y - z = 5;

Решение:

Для вычисления определителя матрицы системы линейных уравнений, нам нужно найти определитель матрицы коэффициентов:

\( A = \begin{vmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 5 \\ 1 & 7 & -1 \end{vmatrix} \)

Вычислим определитель по правилу Саррюса или разложением по любой строке/столбцу. Разложим по первой строке:

\[ \det(A) = 3 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 5 \\ 7 & -1 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 7 \end{vmatrix} \]

Вычислим определители второго порядка:

\[ \begin{vmatrix} -1 & 5 \\ 7 & -1 \end{vmatrix} = (-1)(-1) - (5)(7) = 1 - 35 = -34 \]

\[ \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (2)(-1) - (5)(1) = -2 - 5 = -7 \]

\[ \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 7 \end{vmatrix} = (2)(7) - (-1)(1) = 14 + 1 = 15 \]

Подставим полученные значения:

\[ \det(A) = 3 \cdot (-34) - 2 \cdot (-7) + (-1) \cdot (15) = -102 + 14 - 15 = -103 \]

Ответ: -103