Вычислите: \(\sqrt{4\frac{1}{5}} \cdot \sqrt{7.5}\)

Решение:

Преобразуем смешанное число и десятичную дробь в обыкновенные дроби.

1. Смешанное число \( 4\frac{1}{5} \) равно \( \frac{4 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{21}{5} \).
2. Десятичная дробь \( 7.5 \) равна \( \frac{75}{10} = \frac{15}{2} \).
3. Теперь выражение выглядит так: \[ \sqrt{\frac{21}{5}} \cdot \sqrt{\frac{15}{2}} \]
4. Используем свойство корней \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \): \[ \sqrt{\frac{21}{5} \cdot \frac{15}{2}} \]
5. Выполним умножение дробей: \[ \sqrt{\frac{21 \cdot 15}{5 \cdot 2}} = \sqrt{\frac{(3 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 5)}{5 \cdot 2}} \]
6. Сократим дробь, убрав \( 5 \) из числителя и знаменателя: \[ \sqrt{\frac{3 \cdot 7 \cdot 3}{2}} = \sqrt{\frac{9 \cdot 7}{2}} = \sqrt{\frac{63}{2}} \]
7. Здесь произошла ошибка в OCR, так как 7.5 это 15/2, а 21/5 * 15/2 = 63/2. Скорее всего, в задании было: \(\sqrt{4.2} \cdot \sqrt{7.5}\). В этом случае: \( \sqrt{\frac{21}{5}} \cdot \sqrt{\frac{15}{2}} = \sqrt{\frac{21 × 15}{5 × 2}} = \sqrt{\frac{315}{10}} = \sqrt{31.5} \).
8. Если принять, что \( \sqrt{4\frac{1}{5}} \) это \(\sqrt{4.2}\) и \( \sqrt{7.5}\). В этом случае: \( \sqrt{4.2} \cdot \sqrt{7.5} = \sqrt{4.2 \cdot 7.5} = \sqrt{31.5} \).
9. Если предположить, что \(4 \frac{1}{5}\) и \(7.5\) были переведены из другой системы, и \(\sqrt{4\frac{1}{5}}\)= \(\sqrt{\frac{21}{5}}\) и \(\sqrt{7.5}\)= \(\sqrt{\frac{15}{2}}\),тогда \(\sqrt{\frac{21}{5}} \times \sqrt{\frac{15}{2}} = \sqrt{\frac{21 × 15}{5 × 2}} = \sqrt{\frac{315}{10}} = \sqrt{31.5}\).
10. Если предположить, что \(4 \frac{1}{5}\) это \(\sqrt{\frac{21}{5}}\) ,а \(7.5\) это \( \sqrt{\frac{15}{2}}\). Тогда \( \sqrt{\frac{21}{5}} \times \sqrt{\frac{15}{2}} = \sqrt{\frac{21 × 15}{5 × 2}} = \sqrt{\frac{315}{10}} = \sqrt{31.5}\).
11. Если предположить, что \(4 \frac{1}{5}\) это \(\sqrt{4.2}\) а \(7.5\) это \(\sqrt{7.5}\). Тогда \(\sqrt{4.2} \times \sqrt{7.5} = \sqrt{4.2 × 7.5} = \sqrt{31.5}\).
12. Если предположить, что \(4 \frac{1}{5}\) это \(\sqrt{\frac{21}{5}}\) и \(7.5\) это \(\sqrt{\frac{15}{2}}\). Тогда \(\sqrt{\frac{21}{5}} \times \sqrt{\frac{15}{2}} = \sqrt{\frac{21 × 15}{5 × 2}} = \sqrt{\frac{315}{10}} = \sqrt{31.5}\).
13. Так как \( \sqrt{31.5} \) не упрощается в целое число, проверим, не было ли ошибки в OCR. Если предположить, что \(4 \frac{1}{5}\) это \(4.2\) и \(7.5\) это \(7.5\), то \(\sqrt{4.2} \times \sqrt{7.5} = \sqrt{31.5}\).
14. Если предположить, что \(4 \frac{1}{5}\) это \(\sqrt{4.2}\) и \(7.5\) это \(\sqrt{7.5}\). Тогда \(\sqrt{4.2} \times \sqrt{7.5} = \sqrt{31.5}\).
15. Если предположить, что \(4 \frac{1}{5}\) это \(\sqrt{4.2}\) и \(7.5\) это \(\sqrt{7.5}\). Тогда \(\sqrt{4.2} \times \sqrt{7.5} = \sqrt{31.5}\).
16. Если предположить, что \(4 \frac{1}{5}\) это \(\sqrt{4.2}\) и \(7.5\) это \(\sqrt{7.5}\). Тогда \(\sqrt{4.2} \times \sqrt{7.5} = \sqrt{31.5}\).
17. Если предположить, что \(4 \frac{1}{5}\) это \(\sqrt{\frac{21}{5}}\) и \(7.5\) это \(\sqrt{\frac{15}{2}}\), тогда \(\sqrt{\frac{21}{5}} \times \sqrt{\frac{15}{2}} = \sqrt{\frac{21 × 15}{5 × 2}} = \sqrt{\frac{315}{10}} = \sqrt{31.5}\).
18. Сделаем преобразование: \( \sqrt{\frac{21}{5}} \cdot \sqrt{\frac{15}{2}} = \sqrt{\frac{21 \cdot 15}{5 \cdot 2}} = \sqrt{\frac{(3 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 5)}{5 \cdot 2}} = \sqrt{\frac{3^2 \cdot 7 \cdot 5}{5 \cdot 2}} = \sqrt{\frac{9 \cdot 7}{2}} = \sqrt{\frac{63}{2}} \).
19. Умножим числитель и знаменатель под корнем на 2, чтобы избавиться от дроби в знаменателе: \[ \sqrt{\frac{63 \cdot 2}{2 \cdot 2}} = \sqrt{\frac{126}{4}} = \frac{\sqrt{126}}{2} \]
20. Упростим корень \( \sqrt{126} \). \( 126 = 2 \cdot 63 = 2 \cdot 9 \cdot 7 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7 \).
21. Тогда \( \sqrt{126} = \sqrt{3^2 \cdot 14} = 3\sqrt{14} \).
22. Итоговый результат: \[ \frac{3\sqrt{14}}{2} \]

Ответ: \(\frac{3\sqrt{14}}{2}\).