Решение:

Для решения этого выражения необходимо выполнить следующие шаги:

1. Преобразовать смешанные числа в неправильные дроби:$$1 \frac{1}{12} = \frac{1 \times 12 + 1}{12} = \frac{13}{12}$$$$1 \frac{13}{18} = \frac{1 \times 18 + 13}{18} = \frac{31}{18}$$$$2 \frac{5}{9} = \frac{2 \times 9 + 5}{9} = \frac{23}{9}$$
2. Выполнить вычитание в скобках. Привести дроби к общему знаменателю (18):$$\frac{31}{18} - \frac{23}{9} = \frac{31}{18} - \frac{23 \times 2}{9 \times 2} = \frac{31}{18} - \frac{46}{18} = \frac{31 - 46}{18} = \frac{-15}{18} = -\frac{5}{6}$$
3. Выполнить деление:$$\frac{13}{12} : \left(-\frac{5}{6}\right) = \frac{13}{12} \times \left(-\frac{6}{5}\right) = -\frac{13 \times 6}{12 \times 5} = -\frac{13 \times 1}{2 \times 5} = -\frac{13}{10}$$
4. Преобразовать неправильную дробь в смешанное число:$$-\frac{13}{10} = -1 \frac{3}{10}$$

Ответ: $$-1 \frac{3}{10}$$