13. Выполните действия. 1) Решите уравнение $$\sin 2x = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$$. 2) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[1, 4]$$.

1) Решим уравнение $$\sin 2x = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$$. Используем формулу приведения: $$\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x$$. Тогда уравнение принимает вид: $$\sin 2x = \sin x$$. Используем формулу двойного угла: $$\sin 2x = 2\sin x \cos x$$. Получаем: $$2\sin x \cos x = \sin x$$. Перенесем все члены в левую часть: $$2\sin x \cos x - \sin x = 0$$. Вынесем $$\sin x$$ за скобки: $$\sin x (2\cos x - 1) = 0$$. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, либо $$\sin x = 0$$, либо $$2\cos x - 1 = 0$$. Решим первое уравнение: $$\sin x = 0$$. Отсюда $$x = \pi n$$, где $$n \in \mathbb{Z}$$. Решим второе уравнение: $$2\cos x - 1 = 0$$. Отсюда $$\cos x = \frac{1}{2}$$. Следовательно, $$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$$, где $$k \in \mathbb{Z}$$. Итак, решения уравнения: $$x = \pi n$$, $$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$$, $$x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$$, где $$n, k \in \mathbb{Z}$$. 2) Укажем корни, принадлежащие отрезку $$[1, 4]$$. Приближенно $$\pi \approx 3.14$$. $$\frac{\pi}{3} \approx 1.05$$. $$2\pi \approx 6.28$$. Рассмотрим серию $$x = \pi n$$. При $$n = 0$$, $$x = 0$$, что не принадлежит $$[1, 4]$$. При $$n = 1$$, $$x = \pi \approx 3.14$$, что принадлежит $$[1, 4]$$. При $$n = 2$$, $$x = 2\pi \approx 6.28$$, что не принадлежит $$[1, 4]$$. Рассмотрим серию $$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$$. При $$k = 0$$, $$x = \frac{\pi}{3} \approx 1.05$$, что принадлежит $$[1, 4]$$. При $$k = 1$$, $$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi \approx 1.05 + 6.28 = 7.33$$, что не принадлежит $$[1, 4]$$. Рассмотрим серию $$x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$$. При $$k = 0$$, $$x = -\frac{\pi}{3} \approx -1.05$$, что не принадлежит $$[1, 4]$$. При $$k = 1$$, $$x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi \approx -1.05 + 6.28 = 5.23$$, что не принадлежит $$[1, 4]$$. Таким образом, корни, принадлежащие отрезку $$[1, 4]$$: $$\pi$$ и $$\frac{\pi}{3}$$. Ответ: **$$\pi; \frac{\pi}{3}$$**