2.233 Выполните действия: a) 2\frac{4}{7}+3\frac{1}{21}+4\frac{13}{21}+5\frac{3}{7}+3\frac{1}{14}+\frac{8}{21}; б) 7\frac{7}{20}-4,75+3\frac{4}{5};

a) Выполним сложение смешанных чисел: сначала сложим целые части, затем дробные.

$$2\frac{4}{7}+3\frac{1}{21}+4\frac{13}{21}+5\frac{3}{7}+3\frac{1}{14}+\frac{8}{21} = (2+3+4+5+3) + (\frac{4}{7}+\frac{1}{21}+\frac{13}{21}+\frac{3}{7}+\frac{1}{14}+\frac{8}{21})$$

Сложим целые части: $$2+3+4+5+3 = 17$$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 7, 21 и 14 равен 42. Домножим числители дробей:

• $$\frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 6}{7 \cdot 6} = \frac{24}{42}$$
• $$\frac{1}{21} = \frac{1 \cdot 2}{21 \cdot 2} = \frac{2}{42}$$
• $$\frac{13}{21} = \frac{13 \cdot 2}{21 \cdot 2} = \frac{26}{42}$$
• $$\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 6}{7 \cdot 6} = \frac{18}{42}$$
• $$\frac{1}{14} = \frac{1 \cdot 3}{14 \cdot 3} = \frac{3}{42}$$
• $$\frac{8}{21} = \frac{8 \cdot 2}{21 \cdot 2} = \frac{16}{42}$$

Сложим дробные части: $$\frac{24}{42}+\frac{2}{42}+\frac{26}{42}+\frac{18}{42}+\frac{3}{42}+\frac{16}{42} = \frac{24+2+26+18+3+16}{42} = \frac{89}{42}$$.

Выделим целую часть из неправильной дроби: $$\frac{89}{42} = 2\frac{5}{42}$$.

Сложим целую и дробную части: $$17 + 2\frac{5}{42} = 19\frac{5}{42}$$.

б) Выполним действия с десятичными и обыкновенными дробями.

$$7\frac{7}{20}-4,75+3\frac{4}{5}$$.

Представим 4,75 в виде обыкновенной дроби: $$4,75 = 4\frac{75}{100} = 4\frac{3}{4}$$.

Представим все числа в виде неправильных дробей:

• $$7\frac{7}{20} = \frac{7 \cdot 20 + 7}{20} = \frac{140 + 7}{20} = \frac{147}{20}$$
• $$4\frac{3}{4} = \frac{4 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{16 + 3}{4} = \frac{19}{4}$$
• $$3\frac{4}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{15 + 4}{5} = \frac{19}{5}$$

Тогда выражение примет вид: $$\frac{147}{20} - \frac{19}{4} + \frac{19}{5}$$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 20, 4 и 5 равен 20. Домножим числители дробей:

• $$\frac{19}{4} = \frac{19 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{95}{20}$$
• $$\frac{19}{5} = \frac{19 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{76}{20}$$

Тогда выражение примет вид: $$\frac{147}{20} - \frac{95}{20} + \frac{76}{20} = \frac{147 - 95 + 76}{20} = \frac{128}{20}$$.

Сократим дробь на 4: $$\frac{128}{20} = \frac{32}{5}$$.

Выделим целую часть: $$\frac{32}{5} = 6\frac{2}{5}$$.

Ответ: a) $$19\frac{5}{42}$$, б) $$6\frac{2}{5}$$