Высота конуса равна $$4\sqrt{3}$$ см, а угол при вершине осевого сечения равен 120°. Найдите площадь основания конуса.

Пусть h - высота конуса, r - радиус основания конуса, α - угол при вершине осевого сечения. Дано: $$h = 4\sqrt{3}$$ см, $$α = 120°$$. Рассмотрим осевое сечение конуса - равнобедренный треугольник с углом при вершине 120°. Высота конуса является также медианой и биссектрисой этого треугольника. Тогда угол между высотой и боковой стороной треугольника равен $$\frac{120°}{2} = 60°$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса, радиусом основания и боковой стороной осевого сечения. В этом треугольнике: $$\tan(60°) = \frac{r}{h}$$ $$r = h \cdot \tan(60°) = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12$$ см. Площадь основания конуса равна: $$S_{осн} = \pi r^2 = \pi \cdot (12)^2 = 144\pi$$ см². Ответ: $$144\pi$$ см².