16) Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 3см и составляет угол 60° с плоскостью боковой грани. Найдите объем пирамиды.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $$SABCD$$, где $$O$$ - центр основания (квадрата $$ABCD$$), $$SO$$ - высота пирамиды, равная 3 см. Пусть $$SE$$ - апофема (высота боковой грани). По условию, угол между высотой пирамиды и апофемой равен 60 градусам, то есть $$\angle OSE = 60^\circ$$. В прямоугольном треугольнике $$SOE$$ имеем: $$\tan(\angle OSE) = \frac{OE}{SO}$$ $$\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$$ $$OE = SO \cdot \tan(60^\circ) = 3 \sqrt{3}$$ Так как $$OE$$ - половина стороны основания (квадрата), то сторона основания равна: $$a = 2 \cdot OE = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$$ Площадь основания (квадрата) равна: $$S_{осн} = a^2 = (6\sqrt{3})^2 = 36 \cdot 3 = 108 \text{ см}^2$$ Объем пирамиды равен: $$V = \frac{1}{3} S_{осн} h = \frac{1}{3} \cdot 108 \cdot 3 = 108 \text{ см}^3$$ Ответ: 108 см³