Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки длиной 5 см и 20 см. Найдите катеты треугольника.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где \( \angle C = 90^{\circ} \). Проведена высота CD к гипотенузе AB. Гипотенуза AB делится на отрезки AD = 5 см и DB = 20 см. Значит, гипотенуза AB = AD + DB = 5 + 20 = 25 см.

По свойству высоты прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе, квадрат высоты равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу:

\[ CD^2 = AD \cdot DB = 5 \cdot 20 = 100\]

Отсюда находим высоту CD:

\[ CD = \sqrt{100} = 10 \text{ см.}\]

Теперь найдём катеты AC и BC, используя свойство геометрической средней:

Квадрат катета равен произведению гипотенузы и отрезка гипотенузы, прилежащего к этому катету.

Для катета AC:

\[ AC^2 = AB \cdot AD = 25 \cdot 5 = 125\] \[ AC = \sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5} \text{ см.}\]

Для катета BC:

\[ BC^2 = AB \cdot DB = 25 \cdot 20 = 500\] \[ BC = \sqrt{500} = \sqrt{100 \cdot 5} = 10\sqrt{5} \text{ см.}\]

Ответ: Катеты треугольника равны $$5\sqrt{5}$$ см и $$10\sqrt{5}$$ см.