«4» Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки длиной 40 см и 10 см. Найдите катеты треугольника.

Ответ: 20\(\sqrt{5}\) см и 10\(\sqrt{5}\) см

Решение:

• Обозначим катеты прямоугольного треугольника как a и b, а гипотенузу как c.
• Высота h, проведенная к гипотенузе, делит гипотенузу на отрезки длиной 40 см и 10 см.
• Тогда гипотенуза c = 40 + 10 = 50 см.

Используем свойства высоты в прямоугольном треугольнике:

• a² = c \(\cdot\) проекция катета a на гипотенузу.
• b² = c \(\cdot\) проекция катета b на гипотенузу.

Тогда:

• a² = 50 \(\cdot\) 40 = 2000. Следовательно, a = \(\sqrt{2000}\) = 20\(\sqrt{5}\) см.
• b² = 50 \(\cdot\) 10 = 500. Следовательно, b = \(\sqrt{500}\) = 10\(\sqrt{5}\) см.

Ответ: 20\(\sqrt{5}\) см и 10\(\sqrt{5}\) см