553. Высота равнобедренного остроугольного треугольника, про- веденная к его основанию, равна 8 см, а радиус окружности, описанной около него, 5 см. Найдите боковую сторону треу- гольника.

Пусть ABC - равнобедренный треугольник (AB=BC), BH - высота, проведенная к основанию AC, BH = 8 см. O - центр описанной окружности, R = OA = OB = OC = 5 см.

Так как треугольник остроугольный, то центр O лежит внутри треугольника ABC.

Пусть AH = x, тогда AC = 2x. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH: AB^2 = AH^2 + BH^2.

Выразим AB^2 = x^2 + 8^2 = x^2 + 64.

Из свойств описанной окружности центр описанной окружности лежит на серединном перпендикуляре к стороне AC, значит, OH = BH - BO = 8 - 5 = 3 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOH: AO^2 = AH^2 + OH^2.

Выразим 5^2 = x^2 + 3^2. Отсюда x^2 = 25 - 9 = 16. x = 4 см.

Тогда AH = 4 см, AC = 2 * 4 = 8 см.

$$AB = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$$ см.

Ответ: $$4\sqrt{5}$$ см.