540 Высота цилиндра на 12 см больше его радиуса, а площадь полной поверхности 288π см². Найдите радиус основания и высоту.

Пусть (r) - радиус основания цилиндра, а (h) - его высота. По условию задачи: 1. Высота цилиндра на 12 см больше его радиуса: (h = r + 12). 2. Площадь полной поверхности цилиндра равна (288\pi) см(^2). Формула площади полной поверхности цилиндра: \[S_{\text{полн}} = 2\pi r (r + h)\] Подставим известные значения и выразим (h) через (r): \[288\pi = 2\pi r (r + r + 12)\] Сократим обе части уравнения на (2\pi): \[144 = r (2r + 12)\] Раскроем скобки и приведем к квадратному уравнению: \[144 = 2r^2 + 12r\] \[2r^2 + 12r - 144 = 0\] Разделим обе части уравнения на 2: \[r^2 + 6r - 72 = 0\] Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. Дискриминант (D) равен: \[D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 36 + 288 = 324\] Тогда корни уравнения: \[r_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{324}}{2} = \frac{-6 + 18}{2} = \frac{12}{2} = 6\] \[r_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{324}}{2} = \frac{-6 - 18}{2} = \frac{-24}{2} = -12\] Так как радиус не может быть отрицательным, то (r = 6) см. Теперь найдем высоту (h): \[h = r + 12 = 6 + 12 = 18 \text{ см}\] **Ответ:** Радиус основания цилиндра равен **6 см**, высота цилиндра равна **18 см**.