4. Высота ВК, проведенная к стороне AD параллелограмма АВСD, делит эту сторону на два отрезка АК = 7 см, KD = 15 см. Найдите площадь параллелограмма, если угол А равен 45°.

1. Найдем сторону AD: $$AD = AK + KD = 7 + 15 = 22 \text{ см}$$.
2. В прямоугольном треугольнике ABK:$$\sin A = \frac{BK}{AB}$$
3. Выразим BK: $$BK = AB \cdot \sin A$$.
4. Площадь параллелограмма: $$S = AD \cdot BK = AD \cdot AB \cdot \sin A$$
5. Для нахождения AB рассмотрим треугольник ABK:$$\frac{BK}{AK} = tgA$$$$\frac{AB \cdot \sin 45^{\circ}}{7} = tg 45^{\circ}$$$$\frac{AB \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{7} = 1$$$$AB = \frac{7 \cdot 2}{\sqrt{2}} = 7\sqrt{2} \text{ см}$$
6. Найдем BK: $$BK = 7\sqrt{2} \cdot \sin 45^{\circ} = 7\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 7 \text{ см}$$
7. Найдем площадь параллелограмма: $$S = 22 \cdot 7 = 154 \text{ см}^2$$.

Ответ: $$154 \text{ см}^2$$.