269 Высоты АА1 и ВВ₁ треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите ∠AMB, если ∠A = 55°, ∠B = 67°.

Рассмотрим треугольник ABC, в котором известны углы ∠A = 55° и ∠B = 67°. Тогда угол ∠C можно найти как:

$$ ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 55° - 67° = 58° $$

Высоты AA₁ и BB₁ пересекаются в точке M. Рассмотрим четырехугольник CA₁MB₁.

В этом четырехугольнике углы ∠CA₁M и ∠CB₁M прямые, так как AA₁ и BB₁ высоты. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°, поэтому:

$$ ∠A₁MB₁ = 360° - ∠CA₁M - ∠CB₁M - ∠C = 360° - 90° - 90° - 58° = 122° $$

Углы ∠A₁MB₁ и ∠AMB вертикальные, а вертикальные углы равны, следовательно:

$$ ∠AMB = ∠A₁MB₁ = 122° $$ Ответ: ∠AMB = 122°