Высоты, проведенные к боковым сторонам AB и АС остроугольного равнобедренного треугольника АВС, пе-ресекаются в точке М. Найдите углы треугольника, если угол ВМС равен 140°.

Решение:

Пусть \( BK \) и \( CL \) — высоты, проведенные к сторонам \( AC \) и \( AB \) соответственно. \( BK \perp AC \), \( CL \perp AB \). Точка пересечения высот \( M \).

Рассмотрим четырехугольник \( AKML \). Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.

\( \angle AKM = 90^{\circ} \) (так как \( BK \) — высота).

\( \angle ALM = 90^{\circ} \) (так как \( CL \) — высота).

\( \angle KML = 180^{\circ} - \angle BMC \) (как смежные углы), но \( \angle KML \) и \( \angle BMC \) вертикальные, следовательно \( \angle KML = \angle BMC = 140^{\circ} \). Если \( M \) — точка пересечения высот, то \( \angle BKC = \angle BLC = 90^{\circ} \).

В четырехугольнике \( BKMC \): \( \angle KBC = \angle ABC \), \( \angle LCB = \angle ACB \).

Сумма углов четырехугольника \( BKMC \) равна 360°.

\( \angle BKC = 90^{\circ} \), \( \angle CLB = 90^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle BMC \). \( \angle BMC = 140^{\circ} \).

В \( \triangle BKC \): \( \angle BKC = 90^{\circ} \).

В \( \triangle CLB \): \( \angle CLB = 90^{\circ} \).

Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный с \( AB = AC \), то \( \angle ABC = \angle ACB \).

Рассмотрим \( \triangle BCM \) и \( \triangle CLM \).

В \( \triangle BCM \): \( \angle MBC = \angle ABC \), \( \angle MCB = \angle ACB \).

Углы \( \angle KBM \) и \( \angle LCH \) не равны \( \angle ABC \) и \( \angle ACB \).

Рассмотрим \( \triangle ABK \) и \( \triangle ACL \). Они прямоугольные.

\( \angle BAC \) — общий.

\( \angle ABK = 90^{\circ} - \angle BAC \)

\( \angle ACL = 90^{\circ} - \angle BAC \)

Следовательно, \( \angle ABK = \angle ACL \).

Углы \( \angle MBC \) и \( \angle MCB \) не равны \( \angle ABC \) и \( \angle ACB \).

В \( \triangle BCM \), \( \angle MBC + \angle MCB + \angle BMC = 180^{\circ} \).

\( \angle MBC + \angle MCB + 140^{\circ} = 180^{\circ} \).

\( \angle MBC + \angle MCB = 40^{\circ} \).

Так как \( AB=AC \), то \( \angle ABC = \angle ACB \).

\( BK \) — высота, \( CL \) — высота. \( M \) — точка пересечения высот.

В \( \triangle BCM \), \( \angle CBM \) и \( \angle BCM \) не равны \( \angle ABC \) и \( \angle ACB \).

Пусть \( \angle BAC = \alpha \).

Тогда \( \angle ABC = \angle ACB = (180^{\circ} - \alpha) / 2 = 90^{\circ} - \alpha/2 \).

В \( \triangle ABK \), \( \angle ABK = 90^{\circ} - \angle BAC = 90^{\circ} - \alpha \).

В \( \triangle ACL \), \( \angle ACL = 90^{\circ} - \angle BAC = 90^{\circ} - \alpha \).

В \( \triangle BCM \), \( \angle MBC = \angle ABC - \angle KBC \). \( \angle KBC = 90^{\circ} - \angle BAC = 90^{\circ} - \alpha \).

\( \angle MBC = (90^{\circ} - \alpha/2) - (90^{\circ} - \alpha) = \alpha - \alpha/2 = \alpha/2 \).

Аналогично, \( \angle MCB = \alpha/2 \).

В \( \triangle BCM \): \( \angle BMC = 180^{\circ} - (\angle MBC + \angle MCB) = 180^{\circ} - (\alpha/2 + \alpha/2) = 180^{\circ} - \alpha \).

По условию \( \angle BMC = 140^{\circ} \).

\( 180^{\circ} - \alpha = 140^{\circ} \).

\( \alpha = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ} \).

\( \angle BAC = 40^{\circ} \).

\( \angle ABC = \angle ACB = (180^{\circ} - 40^{\circ}) / 2 = 140^{\circ} / 2 = 70^{\circ} \).

Ответ: Углы треугольника равны 40°, 70°, 70°.