Выясните, имеет ли система линейных уравнений решения и сколько: a) \(\begin{cases} 3x - y = 5, \\ 6x + 2y = 10; \end{cases}\) б) \(\begin{cases} 3x - y = 5, \\ 15x - 5y = 25; \end{cases}\) в) \(\begin{cases} 3x - y = 5, \\ 9x - 3y = 1. \end{cases}\)

Пошаговое решение:

• a) \(\begin{cases} 3x - y = 5, \\ 6x + 2y = 10; \end{cases}\)
  Умножим первое уравнение на 2: \(6x - 2y = 10\). Теперь у нас есть \(\begin{cases} 6x - 2y = 10, \\ 6x + 2y = 10; \end{cases}\) Система имеет одно решение.
• б) \(\begin{cases} 3x - y = 5, \\ 15x - 5y = 25; \end{cases}\)
  Умножим первое уравнение на 5: \(15x - 5y = 25\). Теперь у нас есть \(\begin{cases} 15x - 5y = 25, \\ 15x - 5y = 25; \end{cases}\) Уравнения идентичны, система имеет бесконечно много решений.
• в) \(\begin{cases} 3x - y = 5, \\ 9x - 3y = 1. \end{cases}\)
  Умножим первое уравнение на 3: \(9x - 3y = 15\). Теперь у нас есть \(\begin{cases} 9x - 3y = 15, \\ 9x - 3y = 1; \end{cases}\) Левые части уравнений равны, а правые — нет. Система не имеет решений.

Ответ:

• a) Одно решение
• б) Бесконечно много решений
• в) Нет решений