739. Выясните, при каких значениях параметра а сумма квадрато корней уравнения x² 2 - ax + a - 3 = 0 принимает наименьшее значение, и найдите это значение.

Решение

• Дано уравнение: x² - ax + a - 3 = 0
• Пусть x₁ и x₂ - корни уравнения. По теореме Виета:
• x₁ + x₂ = a
• x₁ * x₂ = a - 3

Выразим сумму квадратов корней:

• x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂
• x₁² + x₂² = a² - 2(a - 3) = a² - 2a + 6

Для нахождения минимума выражения a² - 2a + 6, возьмем производную по a и приравняем к нулю:

• Производная: 2a - 2 = 0
• a = 1

Подставим a = 1 в выражение для суммы квадратов корней:

• x₁² + x₂² = 1² - 2 * 1 + 6 = 1 - 2 + 6 = 5