8. Взяли одну игральную кость, у которой на гранях только нечётные числа, каждое из которых встречается дважды, и вторую, у которой на гранях встречаются только числа 1 и 3 по 3 раза каждое. В остальном эти игральные кости одинаковые. Случайным образом выбрали одну кость из этой пары и бросили дважды. Известно, что в каком-то порядке выпали числа 3 и 1. Найди вероятность того, что кидали первую игральную кость. Ответ округли до сотых.

Ответ: 0.33

• A - событие, что выбрали первую кость
• B - событие, что выпали числа 3 и 1 в каком-то порядке

Нам нужно найти P(A|B) - вероятность того, что выбрали первую кость, при условии, что выпали числа 3 и 1.

По формуле Байеса:

\[ P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} \]

Найдем каждую из вероятностей:

• P(A) = 1/2 - вероятность выбора первой кости
• P(B|A) - вероятность выпадения 3 и 1 при выборе первой кости. Первая кость имеет грани с числами 1, 1, 3, 3, 5, 5. Таким образом, вероятность выпадения 1 и 3 в каком-либо порядке равна P(B|A) = (2/6) * (2/6) + (2/6) * (2/6) = 4/36 + 4/36 = 8/36 = 2/9
• P(B) - вероятность выпадения 3 и 1 в каком-то порядке (независимо от выбора кости)

Эта вероятность складывается из двух случаев:

• Выбрали первую кость и выпали 3 и 1: P(B|A) * P(A) = (2/9) * (1/2) = 1/9
• Выбрали вторую кость и выпали 3 и 1: P(B|¬A) * P(¬A) = ((3/6) * (3/6) + (3/6) * (3/6)) * (1/2) = (1/4 + 1/4) * (1/2) = 1/4

Итого P(B) = 1/9 + 1/4 = 4/36 + 9/36 = 13/36.

Подставляем в формулу Байеса:

\[ P(A|B) = \frac{\frac{2}{9} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{13}{36}} = \frac{\frac{1}{9}}{\frac{13}{36}} = \frac{1}{9} \cdot \frac{36}{13} = \frac{4}{13} \approx 0.3077 \]

Ответ, округленный до сотых: 0.31

Ответ: 0.31