6.217. {x⁴ + x²y² + y⁴ = 91, x² + xy + y² = 13.

Рассмотрим систему уравнений:

$$x^4 + x^2y^2 + y^4 = 91$$ $$x^2 + xy + y^2 = 13$$

Заметим, что:

$$x^4 + 2x^2y^2 + y^4 = (x^2 + y^2)^2$$

Тогда:

$$x^4 + x^2y^2 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - x^2y^2$$

$$= (x^2 + y^2 - xy)(x^2 + y^2 + xy)$$

Подставляем значения из системы:

$$(x^2 + y^2 - xy) \cdot 13 = 91$$

Разделим обе части на 13:

$$x^2 + y^2 - xy = \frac{91}{13} = 7$$

Теперь у нас есть два уравнения:

$$x^2 + xy + y^2 = 13$$ $$x^2 - xy + y^2 = 7$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$2xy = 6$$

$$xy = 3$$

Теперь вычтем 3 из первого уравнения:

$$x^2 + xy + y^2 - xy = 13 - 3$$ $$x^2 + y^2 = 10$$

Имеем:

$$x^2 + y^2 = 10$$ $$xy = 3$$

Из второго уравнения: $$y = \frac{3}{x}$$

Подставим в первое уравнение:

$$x^2 + (\frac{3}{x})^2 = 10$$ $$x^2 + \frac{9}{x^2} = 10$$ $$x^4 + 9 = 10x^2$$ $$x^4 - 10x^2 + 9 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно $$x^2$$:

$$t = x^2$$ $$t^2 - 10t + 9 = 0$$ $$D = 100 - 4 \cdot 9 = 100 - 36 = 64$$ $$t_1 = \frac{10 + 8}{2} = 9$$ $$t_2 = \frac{10 - 8}{2} = 1$$

Тогда:

$$x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$$ $$x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$$

При $$x = 3, y = 1$$

При $$x = -3, y = -1$$

При $$x = 1, y = 3$$

При $$x = -1, y = -3$$

Ответ: (3, 1), (-3, -1), (1, 3), (-1, -3)