6.219. {x + y + z = 3, x + 2y − z = 2, x + yz + zx = 3.

Решим систему уравнений:

$$x + y + z = 3$$ $$x + 2y - z = 2$$ $$x + yz + zx = 3$$

Из первого уравнения: $$z = 3 - x - y$$

Подставим это во второе уравнение:

$$x + 2y - (3 - x - y) = 2$$ $$x + 2y - 3 + x + y = 2$$ $$2x + 3y = 5$$

$$x = \frac{5 - 3y}{2}$$

Теперь подставим z и x в третье уравнение:

$$x + yz + zx = 3$$ $$\frac{5 - 3y}{2} + y(3 - x - y) + (3 - x - y)(\frac{5 - 3y}{2}) = 3$$ $$\frac{5 - 3y}{2} + 3y - xy - y^2 + \frac{15 - 9y - 5x + 3xy}{2} = 3$$ $$5 - 3y + 6y - 2xy - 2y^2 + 15 - 9y - 5x + 3xy = 6$$ $$20 - 6y + xy - 2y^2 - 5x = 6$$ $$14 - 6y + xy - 2y^2 - 5x = 0$$

Подставим $$x = \frac{5 - 3y}{2}$$ в последнее уравнение:

$$14 - 6y + y(\frac{5 - 3y}{2}) - 2y^2 - 5(\frac{5 - 3y}{2}) = 0$$ $$28 - 12y + 5y - 3y^2 - 4y^2 - 25 + 15y = 0$$ $$3 + 8y - 7y^2 = 0$$ $$7y^2 - 8y - 3 = 0$$ $$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 84}}{14} = \frac{8 \pm \sqrt{148}}{14} = \frac{8 \pm 2\sqrt{37}}{14} = \frac{4 \pm \sqrt{37}}{7}$$

При y = 1:

$$x = \frac{5 - 3}{2} = 1$$ $$z = 3 - 1 - 1 = 1$$

Подставим x = 1, y = 1, z = 1 в систему:

$$1 + 1 + 1 = 3$$ $$1 + 2 - 1 = 2$$ $$1 + 1 + 1 = 3$$

Значит, (1, 1, 1) - решение системы.

Ответ: x = 1, y = 1, z = 1