X.148. 1) $\log_{1/9}x=3\log_x\frac19-0,5$; 2) $2\log_4(3x-2)+2\log_{3x-2}4=5$.

Question

Вопрос: $Фото задания: X.148. 1) $\log_{1/9}x=3\log_x\frac19-0,5$; 2) $2\log_4(3x-2)+2\log_{3x-2}4=5$.$ Фото задания

Accepted Answer

1) Область определения: $x>0,\ x\ne1$. Обозначим $t=\log_{1/9}x$. Тогда $\log_x\frac19=\frac1t$, поэтому

$t=\frac3t-\frac12$, откуда $2t^2+t-6=0$.

$(2t-3)(t+2)=0$, значит, $t=\frac32$ или $t=-2$.

Следовательно, $x=(\frac19)^{3/2}=\frac1{27}$ или $x=(\frac19)^{-2}=81$. Оба значения удовлетворяют области определения.

2) Область определения: $3x-2>0$, $3x-2\ne1$. Обозначим $u=\log_4(3x-2)$; тогда $\log_{3x-2}4=\frac1u$.

$2u+\frac2u=5$, поэтому $2u^2-5u+2=0$, то есть $(2u-1)(u-2)=0$.

При $u=\frac12$: $3x-2=4^{1/2}=2$, откуда $x=\frac43$. При $u=2$: $3x-2=16$, откуда $x=6$. Оба корня допустимы.

Ответ: 1) $\frac1{27},\ 81$; 2) $\frac43,\ 6$.

X.148. 1) \(\log_{1/9}x=3\log_x\frac19-0,5\); 2) \(2\log_4(3x-2)+2\log_{3x-2}4=5\).