X.150. При каждом значении параметра \(a\) решить уравнение: 1) \(\log_3(2x-4)=\log_3(a-3x)\); 2) \(\log_2(ax-4)=\log_2(a-x)\).

1) Аргументы логарифмов должны быть положительными. Поскольку основания одинаковы, при допустимых аргументах приравниваем их:

\(2x-4=a-3x\), откуда \(5x=a+4\) и \(x=\frac{a+4}{5}\).

Для допустимости требуется \(2x-4>0\). Подставляя найденное значение, получаем \(\frac{2(a-6)}5>0\), то есть \(a>6\). При этом оба аргумента положительны и равны.

2) При положительных аргументах логарифмов равенство означает \(ax-4=a-x\). Если \(a=-1\), уравнение превращается в \(-4=1\), поэтому решений нет. Если \(a\ne-1\), то \(x=\frac4{a+1}\).

Для допустимости нужно \(a-x>0\); тогда равный ему аргумент \(ax-4\) тоже положителен. Подставляем найденное \(x\): \(a-\frac4{a+1}>0\), или \(\frac{a^2+a-4}{a+1}>0\).

Нули числителя: \(a=\frac{-1\pm\sqrt{17}}2\). С учётом точки \(a=-1\) неравенство выполняется при \(\frac{-1-\sqrt{17}}2<a<-1\) или \(a>\frac{-1+\sqrt{17}}2\).

Ответ: 1) при \(a>6\): \(x=\frac{a+4}{5}\); при \(a\le6\) решений нет. 2) при \(\frac{-1-\sqrt{17}}2<a<-1\) или \(a>\frac{-1+\sqrt{17}}2\): \(x=\frac4{a+1}\); для остальных значений \(a\) решений нет.