X.149. При каждом значении параметра \(a\) решить уравнение: 1) \((x+2a)\cdot\log_5(x+1)=0\); 2) \((x-2a)\cdot\log_5(x-a)=0\).

1) Область определения: \(x>-1\). Произведение равно нулю, если равен нулю хотя бы один множитель:

\(x+2a=0\) даёт \(x=-2a\), допустимый при \(-2a>-1\), то есть \(a<\frac12\). Условие \(\log_5(x+1)=0\) даёт \(x+1=1\), следовательно, \(x=0\), допустимый при любом \(a\).

2) Область определения: \(x>a\). Условие \(x-2a=0\) даёт \(x=2a\), допустимый при \(2a>a\), то есть при \(a>0\). Условие \(\log_5(x-a)=0\) даёт \(x-a=1\), то есть \(x=a+1\); это значение допустимо при любом \(a\).

Ответ: 1) \(x=0\) при любом \(a\); дополнительно \(x=-2a\), если \(a<\frac12\). 2) \(x=a+1\) при любом \(a\); дополнительно \(x=2a\), если \(a>0\).