x³ − 6x + 18 > x(x - 2)(x + 1)

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Раскроем скобки в правой части неравенства.
  \( x(x - 2)(x + 1) = x(x^2 + x - 2x - 2) = x(x^2 - x - 2) = x^3 - x^2 - 2x \)
• Шаг 2: Перенесем все члены в левую часть неравенства.
  \( x^3 - 6x + 18 - (x^3 - x^2 - 2x) > 0 \)
• Шаг 3: Упростим выражение, раскрыв скобки с изменением знаков.
  \( x^3 - 6x + 18 - x^3 + x^2 + 2x > 0 \)
• Шаг 4: Приведем подобные слагаемые.
  \( x^2 - 4x + 18 > 0 \)
• Шаг 5: Найдем дискриминант квадратного трехчлена \( x^2 - 4x + 18 \).
  \( D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 1 18 = 16 - 72 = -56 \)
• Шаг 6: Так как дискриминант отрицательный (\( D < 0 \)) и коэффициент при \( x^2 \) положительный (\( a = 1 > 0 \)), парабола \( y = x^2 - 4x + 18 \) полностью лежит над осью x. Это означает, что неравенство \( x^2 - 4x + 18 > 0 \) выполняется для всех действительных значений \( x \).

Ответ: x ∈ ⁡ℝ⁡