{xy = 36 x² - y² = 65

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases}xy = 36 \\ x^2 - y^2 = 65\end{cases}$$

1. Выразим $$y$$ из первого уравнения: $$y = \frac{36}{x}$$.
2. Подставим выражение для $$y$$ во второе уравнение: $$x^2 - \left(\frac{36}{x}\right)^2 = 65$$.
3. Упростим второе уравнение: $$x^2 - \frac{1296}{x^2} = 65$$, $$x^4 - 1296 = 65x^2$$, $$x^4 - 65x^2 - 1296 = 0$$.
4. Решим уравнение относительно $$x^2$$: Пусть $$z = x^2$$, тогда $$z^2 - 65z - 1296 = 0$$.
5. Найдем корни квадратного уравнения: $$D = 65^2 - 4(1)(-1296) = 4225 + 5184 = 9409 = 97^2$$. $$z_1 = \frac{65 + 97}{2} = 81$$, $$z_2 = \frac{65 - 97}{2} = -16$$.
6. Найдем значения $$x$$:
   • $$x^2 = 81$$, откуда $$x = \pm 9$$.
   • $$x^2 = -16$$, откуда нет действительных решений.
7. Найдем соответствующие значения $$y$$:
   • Если $$x = 9$$, то $$y = \frac{36}{9} = 4$$.
   • Если $$x = -9$$, то $$y = \frac{36}{-9} = -4$$.

Ответ: (9; 4), (-9; -4)