235. x/y + y/x = 25/12, x² + y² = 25.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Дано: \[\begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{25}{12}, \\ x^2 + y^2 = 25. \end{cases}\]
• Шаг 2: Введем замену: \( t = \frac{x}{y} \). Тогда первое уравнение примет вид: \[t + \frac{1}{t} = \frac{25}{12}\]
• Шаг 3: Приведем к общему знаменателю и решим квадратное уравнение: \[12t^2 - 25t + 12 = 0\] \[D = (-25)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 12 = 625 - 576 = 49\] \[t_1 = \frac{25 + 7}{24} = \frac{32}{24} = \frac{4}{3}\] \[t_2 = \frac{25 - 7}{24} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}\]
• Шаг 4: Вернемся к исходным переменным: \[\frac{x}{y} = \frac{4}{3} \Rightarrow x = \frac{4}{3}y\] \[\frac{x}{y} = \frac{3}{4} \Rightarrow x = \frac{3}{4}y\]
• Шаг 5: Подставим \( x = \frac{4}{3}y \) во второе уравнение: \[(\frac{4}{3}y)^2 + y^2 = 25\] \[\frac{16}{9}y^2 + y^2 = 25\] \[\frac{25}{9}y^2 = 25\] \[y^2 = 9 \Rightarrow y = \pm 3\] Если \( y = 3 \), то \( x = \frac{4}{3} \cdot 3 = 4 \). Если \( y = -3 \), то \( x = -4 \).
• Шаг 6: Подставим \( x = \frac{3}{4}y \) во второе уравнение: \[(\frac{3}{4}y)^2 + y^2 = 25\] \[\frac{9}{16}y^2 + y^2 = 25\] \[\frac{25}{16}y^2 = 25\] \[y^2 = 16 \Rightarrow y = \pm 4\] Если \( y = 4 \), то \( x = \frac{3}{4} \cdot 4 = 3 \). Если \( y = -4 \), то \( x = -3 \).

Ответ: (4, 3), (-4, -3), (3, 4), (-3, -4)