5 y=2√x+\frac{3}{2\sqrt[3]{x^2}} -\frac{2}{\sqrt{x}} -\frac{1}{x}+1

Для решения данного задания необходимо знать формулу производной степенной функции: $$ (x^n)' = nx^{n-1} $$, а также формулу производной суммы: $$(u+v)' = u' + v'$$. Кроме того, производная константы равна нулю.

Преобразуем функцию:

1. $$ y = 2x^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{2}x^{-\frac{2}{3}} - 2x^{-\frac{1}{2}} - x^{-1} + 1 $$

Найдем производную:

1. $$ y' = (2x^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{2}x^{-\frac{2}{3}} - 2x^{-\frac{1}{2}} - x^{-1} + 1)' $$
2. $$ y' = (2x^{\frac{1}{2}})' + (\frac{3}{2}x^{-\frac{2}{3}})' - (2x^{-\frac{1}{2}})' - (x^{-1})' + (1)' $$
3. $$ y' = 2 \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} + \frac{3}{2} \cdot (-\frac{2}{3})x^{-\frac{5}{3}} - 2 \cdot (-\frac{1}{2})x^{-\frac{3}{2}} - (-1)x^{-2} + 0 $$
4. $$ y' = x^{-\frac{1}{2}} - x^{-\frac{5}{3}} + x^{-\frac{3}{2}} + x^{-2} $$
5. $$ y' = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt[3]{x^5}} + \frac{1}{\sqrt{x^3}} + \frac{1}{x^2} $$

Ответ: $$y' = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt[3]{x^5}} + \frac{1}{\sqrt{x^3}} + \frac{1}{x^2}$$