Ыдыстың түбінде \(\frac{1}{3}\) бөлігі суға батқан шар жатыр және ол өзіне түсірілген ауырлық күшінің жартысына тең күшпен ыдыс табанын қысып басады. Шардың тығыздығын табыңдар. Судың тығыздығы 1 \(\frac{г}{см³}\)

1. Запишем условие задачи:

• Часть шара в воде: $$ \frac{1}{3} $$
• Сила давления шара на дно: $$ F = \frac{1}{2}mg$$
• Плотность воды: $$ \rho_{воды} = 1 \frac{г}{см^3} = 1000 \frac{кг}{м^3} $$

2. Найдём архимедову силу:

Объем вытесненной воды равен 1/3 объёма шара. Тогда архимедова сила равна:

$$F_A = \rho_{воды} \cdot g \cdot V_{вытесненной воды} = \rho_{воды} \cdot g \cdot \frac{1}{3}V_{шара}$$

3. Запишем второй закон Ньютона для шара, находящегося в воде.

Вниз действует сила тяжести, вверх - сила Архимеда и сила реакции опоры (сила, с которой дно действует на шар):

$$mg = F_A + N$$

4. Учитывая, что сила, с которой шар давит на дно (вес шара), равна половине его силы тяжести, получим:

$$N = \frac{1}{2}mg$$

5. Подставим это в уравнение второго закона Ньютона:

$$mg = \rho_{воды} \cdot g \cdot \frac{1}{3}V_{шара} + \frac{1}{2}mg$$

6. Выразим отсюда плотность шара:

$$\frac{1}{2}mg = \rho_{воды} \cdot g \cdot \frac{1}{3}V_{шара}$$
$$\frac{1}{2} \rho_{шара} \cdot V_{шара} \cdot g = \rho_{воды} \cdot g \cdot \frac{1}{3}V_{шара}$$
$$\frac{1}{2} \rho_{шара} = \frac{1}{3} \rho_{воды}$$
$$\rho_{шара} = \frac{2}{3} \rho_{воды}$$
$$\rho_{шара} = \frac{2}{3} \cdot 1000 \frac{кг}{м^3} = 666.67 \frac{кг}{м^3}$$
$$\rho_{шара} ≈ 0,67 \frac{г}{см^3} $$

Ответ: 0,67 г/см³