28 y''-6y'+8y = 4-x² y(0) = 1, y'(0)=1

Для решения данного дифференциального уравнения необходимо:

1. Решить однородное уравнение: $$y'' - 6y' + 8y = 0$$.
2. Найти частное решение неоднородного уравнения.
3. Найти общее решение неоднородного уравнения.
4. Использовать начальные условия для определения конкретного решения.

1. Решение однородного уравнения:

Характеристическое уравнение: $$k^2 - 6k + 8 = 0$$.

$$(k - 4)(k - 2) = 0$$

$$k_1 = 4, k_2 = 2$$.

Так как корни характеристического уравнения вещественные и различны, общее решение однородного уравнения имеет вид:

$$y_{общ}(x) = C_1e^{4x} + C_2e^{2x}$$, где $$C_1$$ и $$C_2$$ - произвольные константы.

2. Нахождение частного решения неоднородного уравнения:

Уравнение имеет вид $$y'' - 6y' + 8y = 4 - x^2$$. Будем искать частное решение в виде $$y_{част}(x) = Ax^2 + Bx + C$$, где $$A$$, $$B$$ и $$C$$ - константы, которые нужно определить.

Вычисляем первую и вторую производные:

$$y'_{част}(x) = 2Ax + B$$.

$$y''_{част}(x) = 2A$$.

Подставляем производные в исходное уравнение:

$$2A - 6(2Ax + B) + 8(Ax^2 + Bx + C) = 4 - x^2$$.

Приводим подобные слагаемые:

$$8Ax^2 + (-12A + 8B)x + (2A - 6B + 8C) = -x^2 + 4$$.

Получаем систему уравнений:

$$\begin{cases} 8A = -1 \\ -12A + 8B = 0 \\ 2A - 6B + 8C = 4 \end{cases}$$.

Решаем систему:

$$A = -\frac{1}{8}$$.

$$-12(-\frac{1}{8}) + 8B = 0$$

$$\frac{12}{8} + 8B = 0$$

$$8B = -\frac{3}{2}$$

$$B = -\frac{3}{16}$$.

$$2(-\frac{1}{8}) - 6(-\frac{3}{16}) + 8C = 4$$

$$- \frac{1}{4} + \frac{18}{16} + 8C = 4$$

$$-\frac{4}{16} + \frac{18}{16} + 8C = 4$$

$$\frac{14}{16} + 8C = 4$$

$$8C = 4 - \frac{7}{8}$$

$$8C = \frac{32 - 7}{8}$$

$$8C = \frac{25}{8}$$

$$C = \frac{25}{64}$$.

Частное решение:

$$y_{част}(x) = -\frac{1}{8}x^2 - \frac{3}{16}x + \frac{25}{64}$$.

3. Общее решение неоднородного уравнения:

$$y(x) = y_{общ}(x) + y_{част}(x) = C_1e^{4x} + C_2e^{2x} - \frac{1}{8}x^2 - \frac{3}{16}x + \frac{25}{64}$$.

4. Использование начальных условий:

$$y(0) = 1$$

$$y(0) = C_1e^{0} + C_2e^{0} - \frac{1}{8}(0)^2 - \frac{3}{16}(0) + \frac{25}{64} = 1$$

$$C_1 + C_2 + \frac{25}{64} = 1$$

$$C_1 + C_2 = 1 - \frac{25}{64} = \frac{64 - 25}{64} = \frac{39}{64}$$.

$$y'(x) = 4C_1e^{4x} + 2C_2e^{2x} - \frac{2}{8}x - \frac{3}{16}$$.

$$y'(0) = 1$$

$$y'(0) = 4C_1e^{0} + 2C_2e^{0} - \frac{2}{8}(0) - \frac{3}{16} = 1$$

$$4C_1 + 2C_2 - \frac{3}{16} = 1$$

$$4C_1 + 2C_2 = 1 + \frac{3}{16} = \frac{16 + 3}{16} = \frac{19}{16}$$.

У нас есть система уравнений:

$$\begin{cases} C_1 + C_2 = \frac{39}{64} \\ 4C_1 + 2C_2 = \frac{19}{16} \end{cases}$$.

Умножим первое уравнение на 2:

$$\begin{cases} 2C_1 + 2C_2 = \frac{39}{32} \\ 4C_1 + 2C_2 = \frac{19}{16} \end{cases}$$.

Вычтем первое уравнение из второго:

$$2C_1 = \frac{19}{16} - \frac{39}{32} = \frac{38 - 39}{32} = -\frac{1}{32}$$.

$$C_1 = -\frac{1}{64}$$.

Теперь найдем C2:

$$C_2 = \frac{39}{64} - C_1 = \frac{39}{64} + \frac{1}{64} = \frac{40}{64} = \frac{5}{8}$$.

Подставляем найденные значения констант в общее решение:

$$y(x) = -\frac{1}{64}e^{4x} + \frac{5}{8}e^{2x} - \frac{1}{8}x^2 - \frac{3}{16}x + \frac{25}{64}$$.

Ответ: $$y(x) = -\frac{1}{64}e^{4x} + \frac{5}{8}e^{2x} - \frac{1}{8}x^2 - \frac{3}{16}x + \frac{25}{64}$$