Задание 10. Найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, удовлетворяющее начальному условию. 13 y''-6y'+9y = 3 sin 2x y(0) = 1, y'(0)=0

Для решения данного дифференциального уравнения необходимо:

1. Решить однородное уравнение: $$y'' - 6y' + 9y = 0$$.
2. Найти частное решение неоднородного уравнения.
3. Найти общее решение неоднородного уравнения.
4. Использовать начальные условия для определения конкретного решения.

1. Решение однородного уравнения:

Характеристическое уравнение: $$k^2 - 6k + 9 = 0$$.

$$(k - 3)^2 = 0$$

$$k_1 = k_2 = 3$$.

Так как корни характеристического уравнения вещественные и совпадают, общее решение однородного уравнения имеет вид:

$$y_{общ}(x) = C_1e^{3x} + C_2xe^{3x}$$, где $$C_1$$ и $$C_2$$ - произвольные константы.

2. Нахождение частного решения неоднородного уравнения:

Уравнение имеет вид $$y'' - 6y' + 9y = 3\sin{2x}$$. Будем искать частное решение в виде $$y_{част}(x) = A\sin{2x} + B\cos{2x}$$, где $$A$$ и $$B$$ - константы, которые нужно определить.

Вычисляем первую и вторую производные:

$$y'_{част}(x) = 2A\cos{2x} - 2B\sin{2x}$$.

$$y''_{част}(x) = -4A\sin{2x} - 4B\cos{2x}$$.

Подставляем производные в исходное уравнение:

$$(-4A\sin{2x} - 4B\cos{2x}) - 6(2A\cos{2x} - 2B\sin{2x}) + 9(A\sin{2x} + B\cos{2x}) = 3\sin{2x}$$.

Приводим подобные слагаемые:

$$(-4A + 12B + 9A)\sin{2x} + (-4B - 12A + 9B)\cos{2x} = 3\sin{2x}$$.

$$(5A + 12B)\sin{2x} + (-12A + 5B)\cos{2x} = 3\sin{2x}$$.

Получаем систему уравнений:

$$\begin{cases} 5A + 12B = 3 \\ -12A + 5B = 0 \end{cases}$$.

Решаем систему:

$$5A + 12B = 3$$

$$-12A + 5B = 0 \Rightarrow 5B = 12A \Rightarrow B = \frac{12}{5}A$$

$$5A + 12(\frac{12}{5}A) = 3$$

$$5A + \frac{144}{5}A = 3$$

$$\frac{25A + 144A}{5} = 3$$

$$\frac{169A}{5} = 3$$

$$A = \frac{15}{169}$$.

$$B = \frac{12}{5} \cdot \frac{15}{169} = \frac{12 \cdot 3}{169} = \frac{36}{169}$$.

Частное решение:

$$y_{част}(x) = \frac{15}{169}\sin{2x} + \frac{36}{169}\cos{2x}$$.

3. Общее решение неоднородного уравнения:

$$y(x) = y_{общ}(x) + y_{част}(x) = C_1e^{3x} + C_2xe^{3x} + \frac{15}{169}\sin{2x} + \frac{36}{169}\cos{2x}$$.

4. Использование начальных условий:

$$y(0) = 1$$

$$y(0) = C_1e^{0} + C_2 \cdot 0 \cdot e^{0} + \frac{15}{169}\sin{(2 \cdot 0)} + \frac{36}{169}\cos{(2 \cdot 0)} = 1$$

$$C_1 + 0 + 0 + \frac{36}{169} = 1$$

$$C_1 = 1 - \frac{36}{169} = \frac{169 - 36}{169} = \frac{133}{169}$$.

$$y'(x) = 3C_1e^{3x} + C_2e^{3x} + 3C_2xe^{3x} + \frac{30}{169}\cos{2x} - \frac{72}{169}\sin{2x}$$.

$$y'(0) = 0$$

$$y'(0) = 3C_1e^{0} + C_2e^{0} + 3C_2 \cdot 0 \cdot e^{0} + \frac{30}{169}\cos{(2 \cdot 0)} - \frac{72}{169}\sin{(2 \cdot 0)} = 0$$

$$3C_1 + C_2 + \frac{30}{169} = 0$$

$$C_2 = -3C_1 - \frac{30}{169} = -3(\frac{133}{169}) - \frac{30}{169} = -\frac{399}{169} - \frac{30}{169} = -\frac{429}{169}$$.

Решение с учетом начальных условий:

$$y(x) = \frac{133}{169}e^{3x} - \frac{429}{169}xe^{3x} + \frac{15}{169}\sin{2x} + \frac{36}{169}\cos{2x}$$.

Ответ: $$y(x) = \frac{133}{169}e^{3x} - \frac{429}{169}xe^{3x} + \frac{15}{169}\sin{2x} + \frac{36}{169}\cos{2x}$$