Задание 10. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. 13 a) y''-1ly'+30y = 0 б) 9y''-6y' + y = 0 в) у''-8у +52 y = 0 г) у''-9y' = 0 д) у" + 64 у = 0 e) y''-10 y = 0

Рассмотрим каждое уравнение по отдельности.

а) $$y'' - 11y' + 30y = 0$$

• Составим характеристическое уравнение: $$k^2 - 11k + 30 = 0$$.
• Решим квадратное уравнение: $$(k-5)(k-6) = 0$$.
• Корни: $$k_1 = 5, k_2 = 6$$.
• Общее решение: $$y(x) = C_1e^{5x} + C_2e^{6x}$$.

б) $$9y'' - 6y' + y = 0$$

• Составим характеристическое уравнение: $$9k^2 - 6k + 1 = 0$$.
• Решим квадратное уравнение: $$(3k-1)^2 = 0$$.
• Корни: $$k_1 = k_2 = \frac{1}{3}$$.
• Общее решение: $$y(x) = C_1e^{\frac{1}{3}x} + C_2xe^{\frac{1}{3}x}$$.

в) $$y'' - 8y' + 52y = 0$$

• Составим характеристическое уравнение: $$k^2 - 8k + 52 = 0$$.
• Решим квадратное уравнение: $$k = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4(52)}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 208}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{-144}}{2} = 4 \pm 6i$$.
• Корни: $$k_1 = 4 + 6i, k_2 = 4 - 6i$$.
• Общее решение: $$y(x) = e^{4x}(C_1\cos{6x} + C_2\sin{6x})$$.

г) $$y'' - 9y' = 0$$

• Составим характеристическое уравнение: $$k^2 - 9k = 0$$.
• Решим квадратное уравнение: $$k(k-9) = 0$$.
• Корни: $$k_1 = 0, k_2 = 9$$.
• Общее решение: $$y(x) = C_1 + C_2e^{9x}$$.

д) $$y'' + 64y = 0$$

• Составим характеристическое уравнение: $$k^2 + 64 = 0$$.
• Решим квадратное уравнение: $$k^2 = -64$$.
• Корни: $$k_1 = 8i, k_2 = -8i$$.
• Общее решение: $$y(x) = C_1\cos{8x} + C_2\sin{8x}$$.

е) $$y'' - 10y = 0$$

• Составим характеристическое уравнение: $$k^2 - 10 = 0$$.
• Решим квадратное уравнение: $$k^2 = 10$$.
• Корни: $$k_1 = \sqrt{10}, k_2 = -\sqrt{10}$$.
• Общее решение: $$y(x) = C_1e^{\sqrt{10}x} + C_2e^{-\sqrt{10}x}$$.

Ответ:

• a) $$y(x) = C_1e^{5x} + C_2e^{6x}$$
• б) $$y(x) = C_1e^{\frac{1}{3}x} + C_2xe^{\frac{1}{3}x}$$
• в) $$y(x) = e^{4x}(C_1\cos{6x} + C_2\sin{6x})$$
• г) $$y(x) = C_1 + C_2e^{9x}$$
• д) $$y(x) = C_1\cos{8x} + C_2\sin{8x}$$
• е) $$y(x) = C_1e^{\sqrt{10}x} + C_2e^{-\sqrt{10}x}$$