6) Z KFE-?

Дано: $$\angle M = 37^\circ, EN = NK, FE = FK$$. Найти: $$\angle KFE - ?$$ Решение: Т.к. $$EN = NK$$, то $$\triangle ENK$$ - равнобедренный, следовательно, $$\angle 1 = \angle 2$$. Пусть $$\angle 1 = \angle 2 = x$$, тогда по теореме о сумме углов треугольника: $$x + x + \angle N = 180^\circ$$, следовательно, $$\angle N = 180^\circ - 2x$$. Т.к. $$FE = FK$$, то $$\triangle FEK$$ - равнобедренный, следовательно, $$\angle KEF = \angle FKE$$. В $$\triangle MNK$$ по теореме о сумме углов треугольника: $$\angle N = 180^\circ - (\angle M + \angle K) = 180^\circ - (37^\circ + \angle K)$$. Приравняем выражения для $$\angle N$$: $$180^\circ - 2x = 180^\circ - (37^\circ + \angle K)$$. Следовательно, $$2x = 37^\circ + \angle K$$. По теореме о внешнем угле треугольника $$\angle KEF = \angle N + \angle M$$: $$\angle KEF = 180^\circ - 2x + 37^\circ$$. В $$\triangle FEK$$ по теореме о сумме углов треугольника: $$\angle KEF + \angle FKE + \angle KFE = 180^\circ$$. Т.к. $$\angle KEF = \angle FKE$$, то $$2(180^\circ - 2x + 37^\circ) + \angle KFE = 180^\circ$$. $$217 - 2x + \angle KFE = 180^\circ$$. $$\angle KFE = 180^\circ - 2x - 217^\circ$$. $$\angle KFE = 37^\circ$$. Ответ: $$\angle KFE = 37^\circ$$.