4.1. За какое наименьшее количество минут Таня с дедушкой могут добраться из Антоновки в Богданово?

Для решения этой задачи нужно рассмотреть разные маршруты из Антоновки в Богданово и выбрать самый быстрый. * **Маршрут 1:** По просёлочной дороге мимо реки. По условию, расстояние от Антоновки до Доломино равно 12 км, от Доломино до Горюново 15 км, а от Горюново до Ванютино 15 км, от Ванютино до Жилино 9 км, от Жилино до Богданово 12 км. Расстояние от Антоновки до Богданово 12 + 15 + 15 + 9 + 12 = 63 км. Так как скорость по проселочной дороге 30 км/ч, то время будет: $$\frac{63 \text{ км}}{30 \text{ км/ч}} = 2.1 \text{ ч} = 2 \text{ ч} 6 \text{ мин} = 126 \text{ мин}$$ * **Маршрут 2:** По шоссе до Ванютино, затем по шоссе до Богданово. От Антоновки до Ванютино по шоссе можно добраться через Доломино и Егорку. Расстояние от Антоновки до Доломино равно 12 км, от Доломино до Егорки 4 км, от Егорки до Ванютино 12 км. Таким образом, расстояние от Антоновки до Ванютино: $$12 \text{ км} + 4 \text{ км} + 12 \text{ км} = 28 \text{ км}$$ Расстояние от Ванютино до Жилино равно 9 км, а от Жилино до Богданово равно 12 км. Таким образом, расстояние от Ванютино до Богданово: $$9 \text{ км} + 12 \text{ км} = 21 \text{ км}$$ Общее расстояние по шоссе: $$28 \text{ км} + 21 \text{ км} = 49 \text{ км}$$ Так как скорость по шоссе 50 км/ч, то время будет: $$\frac{49 \text{ км}}{50 \text{ км/ч}} = 0.98 \text{ ч} = 58.8 \text{ мин} \approx 59 \text{ мин}$$ * **Маршрут 3:** Смешанный маршрут через Доломино, Горюново до Богданово по шоссе. Расстояние от Антоновки до Доломино по шоссе равно 12 км, от Доломино до Горюново по проселочной дороге равно 15 км, от Горюново до Богданово по шоссе равно 15 + 9 +12 = 36. Таким образом, расстояние от Горюново до Богданово равно 36 км. Время на участке от Антоновки до Доломино: $$\frac{12 \text{ км}}{50 \text{ км/ч}} = 0.24 \text{ ч} = 14.4 \text{ мин}$$ Время на участке от Доломино до Горюново: $$\frac{15 \text{ км}}{30 \text{ км/ч}} = 0.5 \text{ ч} = 30 \text{ мин}$$ Время на участке от Горюново до Богданово: $$\frac{36 \text{ км}}{50 \text{ км/ч}} = 0.72 \text{ ч} = 43.2 \text{ мин}$$ Общее время: $$14.4 \text{ мин} + 30 \text{ мин} + 43.2 \text{ мин} = 87.6 \text{ мин} \approx 88 \text{ мин}$$ Следовательно, самый быстрый маршрут - второй, время в пути составит примерно 59 минут. **Ответ:** 59 минут