8. За одно и то же время первый математический маятник совершил 40 колебаний, а второй 60. Определите отношение длины первого маятника к длине второго.

Пусть $$T_1$$ - период первого маятника, $$T_2$$ - период второго маятника. $$n_1$$ - количество колебаний первого маятника, $$n_2$$ - количество колебаний второго маятника за одно и то же время $$t$$. Тогда:

$$T_1 = \frac{t}{n_1} = \frac{t}{40}$$ $$T_2 = \frac{t}{n_2} = \frac{t}{60}$$

Отношение периодов:

$$\frac{T_1}{T_2} = \frac{\frac{t}{40}}{\frac{t}{60}} = \frac{60}{40} = \frac{3}{2}$$

Период математического маятника: $$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$, где $$l$$ - длина маятника, $$g$$ - ускорение свободного падения. Следовательно, $$T \propto \sqrt{l}$$.

$$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{l_1}{l_2}}$$ $$\frac{l_1}{l_2} = (\frac{T_1}{T_2})^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} = 2.25$$

Ответ: 2,25