Задача 5. [1 балл) Отношение гипотенузы прямоугольного треугольника к одному из катетов равно 25:24, а другой катет равен 14. Найдите периметр треугольника.

Пусть гипотенуза прямоугольного треугольника равна $$c$$, один из катетов равен $$a$$, а другой катет равен $$b$$. По условию, $$\frac{c}{a} = \frac{25}{24}$$ и $$b = 14$$. Требуется найти периметр треугольника, то есть $$P = a + b + c$$.

Из отношения $$\frac{c}{a} = \frac{25}{24}$$ следует, что $$c = \frac{25}{24}a$$.

По теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника выполняется равенство $$a^2 + b^2 = c^2$$. Подставим известные значения:

$$a^2 + 14^2 = (\frac{25}{24}a)^2$$

$$a^2 + 196 = \frac{625}{576}a^2$$

$$196 = \frac{625}{576}a^2 - a^2$$

$$196 = \frac{625 - 576}{576}a^2$$

$$196 = \frac{49}{576}a^2$$

$$a^2 = \frac{196 \cdot 576}{49}$$

$$a^2 = 4 \cdot 576$$

$$a = \sqrt{4 \cdot 576} = 2 \cdot 24 = 48$$

Теперь найдем гипотенузу $$c$$:

$$c = \frac{25}{24}a = \frac{25}{24} \cdot 48 = 25 \cdot 2 = 50$$

Периметр треугольника:

$$P = a + b + c = 48 + 14 + 50 = 112$$

Ответ: 112