Задача 3: Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 3:4, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите боковую сторону треугольника, если его основание равно 12 см.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC, и AC = 12 см - основание. Окружность вписана в треугольник, и точка касания K на боковой стороне BC делит её в отношении 3:4, считая от вершины C. Значит, CK:KB = 3:4. Нужно найти длину боковой стороны BC. 1. **Обозначим CK и KB через переменную x:** CK = 3x, KB = 4x Тогда BC = CK + KB = 3x + 4x = 7x 2. **Свойства касательных:** Пусть L - точка касания окружности со стороной AC, а M - точка касания со стороной AB. Тогда AL = AM, CL = CK, BM = BK. 3. **Выразим CL через x:** CL = CK = 3x 4. **Найдем AL:** AC = AL + CL = 12 AL = 12 - CL = 12 - 3x 5. **Выразим AM:** AM = AL = 12 - 3x 6. **Выразим AB через x:** AB = AM + MB = AM + KB = (12 - 3x) + 4x = 12 + x 7. **Так как AB = BC, то:** 12 + x = 7x 6x = 12 x = 2 8. **Найдем BC:** BC = 7x = 7 * 2 = 14 см **Ответ: Боковая сторона треугольника равна 14 см.**