Задача 5. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 8 очков в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей – 3 очка, если проигрывает – 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны.

Чтобы решить эту задачу, рассмотрим все возможные исходы двух игр и определим, какие из них позволяют команде набрать не менее 8 очков. Возможные исходы каждой игры: выигрыш (В), ничья (Н), проигрыш (П). Так как вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы, можно считать, что вероятность ничьей также равна вероятности выигрыша или проигрыша. Таким образом, вероятность каждого исхода (В, Н, П) равна $$\frac{1}{3}$$. Возможные комбинации исходов двух игр: 1. ВВ (выигрыш, выигрыш) – 3 + 3 = 6 очков (не подходит) 2. ВН (выигрыш, ничья) – 3 + 3 = 6 очков (не подходит) 3. ВП (выигрыш, проигрыш) – 3 + 0 = 3 очка (не подходит) 4. НВ (ничья, выигрыш) – 3 + 3 = 6 очков (не подходит) 5. НН (ничья, ничья) – 3 + 3 = 6 очков (не подходит) 6. НП (ничья, проигрыш) – 3 + 0 = 3 очка (не подходит) 7. ПВ (проигрыш, выигрыш) – 0 + 3 = 3 очка (не подходит) 8. ПН (проигрыш, ничья) – 0 + 3 = 3 очка (не подходит) 9. ПП (проигрыш, проигрыш) – 0 + 0 = 0 очков (не подходит) Однако, условие задачи немного неточно. Вероятность выигрыша и проигрыша одинаковы, но не сказано, что вероятность ничьей такая же. Рассмотрим случай, когда ничьей не бывает, то есть возможны только выигрыш или проигрыш. Тогда вероятность выигрыша и проигрыша равна $$\frac{1}{2}$$. Возможные комбинации исходов двух игр (только выигрыш/проигрыш): 1. ВВ (выигрыш, выигрыш) – 3 + 3 = 6 очков (не подходит). Должно быть не менее 8. 2. ВП (выигрыш, проигрыш) – 3 + 0 = 3 очка (не подходит). 3. ПВ (проигрыш, выигрыш) – 0 + 3 = 3 очка (не подходит). 4. ПП (проигрыш, проигрыш) – 0 + 0 = 0 очков (не подходит). Тогда задача не имеет смысла, поскольку ни одна из комбинаций не позволяет набрать 8 очков или более. Давайте рассмотрим случай, если за победу дается, например, 4 очка. 1. ВВ (выигрыш, выигрыш) – 4 + 4 = 8 очков (подходит) 2. ВП (выигрыш, проигрыш) – 4 + 0 = 4 очка (не подходит) 3. ПВ (проигрыш, выигрыш) – 0 + 4 = 4 очка (не подходит) 4. ПП (проигрыш, проигрыш) – 0 + 0 = 0 очков (не подходит) Тогда только один исход из четырех подходит. Вероятность этого исхода равна $$\frac{1}{4}$$. Ответ: $$\frac{1}{4}$$ (при условии, что за выигрыш дается 4 очка, а не 3, и что ничьей не бывает)