Задача 2: Дана трапеция ABCD, где AB = 4, AD = 12, угол C = 45 градусов. Необходимо найти площадь трапеции ABCD.

Давайте решим эту задачу по шагам. 1. Опустим высоту из вершины C на сторону AD. Обозначим основание высоты точкой E. Таким образом, CE - высота трапеции. 2. Рассмотрим треугольник CDE. В этом треугольнике угол CDE = 180° - 45° = 135°. Однако, мы рассматриваем треугольник CED, где угол CED = 90°. Значит, угол DCE = 45° (так как сумма углов в треугольнике равна 180°). 3. Треугольник CDE - равнобедренный. Поскольку углы DCE и CDE равны 45°, то CE = DE. 4. Выразим CE (или DE) через x. Пусть CE = DE = x. 5. Используем тангенс угла CDE. Тангенс угла CDE (который равен 45°) равен отношению противолежащего катета (CE) к прилежащему катету (DE). Таким образом, \( \tan(45°) = \frac{CE}{DE} = \frac{x}{x} = 1 \). Но это не помогает нам найти значение x. 6. Рассмотрим прямоугольный треугольник CDE. Так как угол DCE = 45°, а угол CED = 90°, то \(CD = \frac{CE}{\sin(45°)} = \frac{x}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = x\sqrt{2}\). 7. Проведем высоту BF из точки B к AD. Получим прямоугольник ABCF, где AF = BC и BF = CE = x. Тогда FD = AD - AF = AD - BC. 8. Рассмотрим треугольник BFD. Угол BDF = 45°, BF = FD = x. 9. Выразим AD через AF и FD. AD = AF + FD = BC + x. Так как AD = 12, то 12 = BC + x. 10. Найдем связь между сторонами. AB = 4. Опустим перпендикуляр из B на AD, получим точку K. Тогда AK = AD - KD = AD - BC, AK=x. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABK: \(AK^2 + BK^2 = AB^2\), или \(x^2 + x^2 = 4^2\). Тогда \(2x^2 = 16\), \(x^2 = 8\), и \(x = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\). 11. Найдем BC. 12 = BC + x, значит, BC = 12 - \(2\sqrt{2}\). 12. Площадь трапеции. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: \(S = \frac{BC + AD}{2} \cdot CE = \frac{12 - 2\sqrt{2} + 12}{2} \cdot 2\sqrt{2} = (12 - \sqrt{2} ) \cdot 2\sqrt{2} = 24\sqrt{2} - 4\). Ответ: Площадь трапеции ABCD равна \(24\sqrt{2} - 4\).