Задача 3: Дана трапеция ABCD, где AB = 10, BC = 6, угол A = 60 градусов, и трапеция равнобедренная (AB = CD). Необходимо найти площадь трапеции ABCD.

Решение задачи: 1. Проведем высоты BK и CF из вершин B и C на основание AD. Так как трапеция равнобедренная, то AK = FD. 2. Рассмотрим треугольник ABK. В этом треугольнике угол BAK = 60 градусов. BK - высота, поэтому треугольник ABK - прямоугольный. Используем тригонометрические функции, чтобы найти AK и BK. 3. Найдем AK. \( \cos(60°) = \frac{AK}{AB} \). Значит, \( AK = AB \cdot \cos(60°) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \). 4. Найдем BK. \( \sin(60°) = \frac{BK}{AB} \). Значит, \( BK = AB \cdot \sin(60°) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \). 5. Найдем AD. Так как AK = FD и BC = KF, то AD = AK + KF + FD = AK + BC + FD = 5 + 6 + 5 = 16. 6. Найдем площадь трапеции ABCD. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: \( S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BK = \frac{6 + 16}{2} \cdot 5\sqrt{3} = \frac{22}{2} \cdot 5\sqrt{3} = 11 \cdot 5\sqrt{3} = 55\sqrt{3} \). Ответ: Площадь трапеции ABCD равна \(55\sqrt{3}\).