Задача 12: Дана треугольная пирамида SABC с вершиной S, в основании которой лежит правильный треугольник ABC. Отрезки AM, BN и CP являются медианами, точка O - точка пересечения медиан. Отрезок SA перпендикулярен плоскости основания. Выберите из предложенного списка пары перпендикулярных прямых: 1) прямые NP и SM, 2) прямые SN и NP, 3) прямые SA и OC, 4) прямые NP и AO, 5) прямые SB и CP.

Решение: По условию, SA перпендикулярен плоскости основания ABC. Также известно, что ABC - правильный треугольник, а AM, BN и CP - медианы, пересекающиеся в точке O. Рассмотрим предложенные пары прямых и определим, какие из них перпендикулярны: 1) NP и SM: Нет оснований утверждать, что эти прямые перпендикулярны. 2) SN и NP: NP лежит в плоскости основания, но SN не обязательно перпендикулярна этой плоскости. 3) SA и OC: SA перпендикулярна плоскости основания ABC, а OC лежит в этой плоскости. Следовательно, SA перпендикулярна любой прямой в плоскости ABC, проходящей через точку O. Таким образом, SA ⊥ OC. 4) NP и AO: AO лежит в плоскости основания, но NP не обязательно перпендикулярна этой прямой. 5) SB и CP: Нет оснований утверждать, что эти прямые перпендикулярны. Таким образом, единственная пара перпендикулярных прямых - это SA и OC. Ответ: 3