Задача 11: На сторонах AB и AC треугольника ABC взяли точки M и N соответственно так, что AM = 7, MB = 10, AN = 5 и NC = 9. Найдите площадь треугольника AMN, если площадь треугольника ABC равна 68.

Решение: Пусть (S_{ABC}) - площадь треугольника ABC, а (S_{AMN}) - площадь треугольника AMN. Дано, что (S_{ABC} = 68). Отношение площадей треугольников AMN и ABC можно выразить через отношение длин сторон AM к AB и AN к AC: \[ \frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{AM}{AB} \cdot \frac{AN}{AC} \] Из условия задачи известно, что AM = 7, MB = 10, AN = 5 и NC = 9. Тогда: AB = AM + MB = 7 + 10 = 17 AC = AN + NC = 5 + 9 = 14 Подставляем известные значения в формулу: \[ \frac{S_{AMN}}{68} = \frac{7}{17} \cdot \frac{5}{14} \] Теперь найдем площадь треугольника AMN: \[ S_{AMN} = 68 \cdot \frac{7}{17} \cdot \frac{5}{14} = 68 \cdot \frac{35}{238} = \frac{2380}{238} = 10 \] Таким образом, площадь треугольника AMN равна 10. Ответ: 10