Задача 12: Дана треугольная пирамида SABC с вершиной S, в основании которой лежит правильный треугольник ABC. Отрезки AM, BN и CP являются медианами, точка O - точка пересечения медиан. Отрезок SA перпендикулярен плоскости основания. Выберите из предложенного списка пары перпендикулярных прямых: 1) прямые SA и BN 2) прямые AN и NP 3) прямые SN и AC 4) прямые OM и NP 5) прямые SM и NP

Решение: Так как SA перпендикулярна плоскости основания ABC, то SA перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. BN лежит в плоскости ABC. Следовательно, прямые SA и BN перпендикулярны. Вариант 1 подходит. Прямая AC лежит в плоскости основания, а проекцией прямой SN на плоскость основания является прямая NC. Так как треугольник ABC правильный, то медианы являются и высотами. Значит, BN перпендикулярна AC. Т.к. SN не лежит в плоскости основания, а наклонная SN и проекция NC не перпендикулярны, значит SN и AC не перпендикулярны. Отрезок NP - это часть медианы CP, следовательно NP лежит в плоскости ABC, OM не лежит в плоскости ABC, значит OM и NP не перпендикулярны. Ответ: 1