Задача 11: На сторонах AB и AC треугольника ABC взяли точки M и N соответственно так, что AM=6, MB=10, AN=5 и NC=13. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника AMN равна 10.

Решение: Обозначим площадь треугольника ABC как S. Площадь треугольника AMN обозначим как S_AMN. Из условия S_AMN = 10. Используем формулу для отношения площадей треугольников с общим углом: $$\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{AM \cdot AN}{AB \cdot AC}$$ Из условия дано: AM = 6, MB = 10, AN = 5, NC = 13. Тогда AB = AM + MB = 6 + 10 = 16 и AC = AN + NC = 5 + 13 = 18. Подставляем известные значения в формулу: $$\frac{10}{S} = \frac{6 \cdot 5}{16 \cdot 18}$$ $$\frac{10}{S} = \frac{30}{288}$$ Теперь найдем площадь S: $$S = \frac{10 \cdot 288}{30} = \frac{2880}{30} = 96$$ Ответ: Площадь треугольника ABC равна 96.